Aussi robuste que soit le modèle de BS, ses limites sont rapidement apparues. La volatilité
effectivement utilisée par les opérateurs de marché varie selon le prix d'exercice de l'option considéré.
On se souvient que dans le modèle de BS, la volatilité est censée être un paramètre constant, objectif,
issu de l'estimation statistique : elle ne devrait donc pas dépendre du prix d'exercice. Pourtant
l'observation du prix des options standards sur les marchés liquides révèle des anomalies. On
constate en effet que le prix des options dépend de leur éloignement à la monnaie. Le calcul des
volatilités implicites qui redonnent les prix de marchés par la formule de BS, permet de représenter
efficacement ce phénomène. La courbe obtenue est typiquement convexe : on l'appelle l'effet
« smile » car elle présente une forme de sourire (il est d'ailleurs intéressant de noter qu'après le krach
de 1987, cette forme s'est modifiée sur les marchés d'actions : les options de vente hors de la
monnaie sont devenues plus chères que les options d'achat hors de la monnaie ; dans ce cas les
termes de « skew » ou « smirk » sont employés).
Malheureusement l'existence de cet effet « smile » n'est pas conforme à la prédiction
théorique du modèle de BS qui suggère non seulement une ligne horizontale, mais aussi une
structure par terme des volatilités « plate ».
Or, tout comme il est possible d'observer un effet « smile » de la volatilité, le marché laisse
apparaître une structure par terme des volatilités. Il s'agit de la dépendance de la volatilité par rapport
à la maturité.
Dans le cas le plus fréquent où le marché n'est pas soumis à des pressions ou des
mouvements extrêmes, on observe que la volatilité implicite des options de maturité courte est
inférieure à celle des options de maturité plus longue. La structure par terme des volatilités implicites
est alors croissante. Elle est décroissante lors de variations importantes du sous- jacent.
En fait, si les prix de marché d'options étaient conformes à la formule de BS, toutes les
volatilités implicites BS correspondant à diverses options écrites sur le même actif sous-jacent
coïnciderait avec le paramètre de volatilité s de l'actif sous-jacent. Ce n'est pas le cas, dans la réalité,
puisque la volatilité implicite BS dépend du temps calendaire, du temps restant jusqu'à l'expiration de
l'option, et du degré de monnaie (« moneyness »)de l'option.
Ce « smile » présente des caractéristiques intéressantes, notamment :
- la volatilité, représentant une fonction convexe par rapport aux prix d'exercice, le minimum de cette
fonction se situe à un niveau de prix d'exercice correspondant à des options très proches de la
monnaie.
- le « smile » de volatilité, comme fonction convexe par rapport au prix d'exercice, est assez souvent
symétrique.
- cependant il peut être asymétrique (c'est une situation plus fréquente depuis le krach de 1987).
Cette asymétrie peut être décrite comme l'addition d'une courbe strictement monotone au « smile »
symétrique standard (elle peut être interprétée par le fait que les puts hors de la monnaie sont plus
chères que les calls hors de la monnaie).
- l'amplitude du « smile » augmente fortement au fur et à mesure que la date d'échéance de l'option
se rapproche. En effet, le « smile » est très prononcé pour des maturités courtes, tandis qu'il a
presque complètement disparu pour des maturités longues !
Nous avons choisi de réaliser notre programme dans un cadre de Sticky Strike, à savoir à
Strike fixé en abscisse contre le modèle Sticky Delta dépendant de la « moneyness » de l'option.
De plus, le modèle Sticky Delta, s'il réagit aux mouvements du sous-jacent (contrairement au
Sticky Strike qui reste fixe quelles que soient les variations du sous-jacent, caeteris paribus), est peu
robuste (CF Partie IV).
[...] Ce dernier a été retenu pour des raisons qui seront exposées dans la suite de ce chapitre au Les deux méthodes sont ici présentées Présentation de l'approche par dichotomie Le principe est de partir d'un premier Intervalle [σinf ; σsup], qui sera toujours utilisé comme point de départ pour le programme. La base de données Reuters permet d'obtenir le prix d'une option, le strike correspondant, le taux de dividende, la maturité, le taux sans risque et la valeur spot de l'action sous-jacente. Un premier prix d'option est calculé en utilisant la valeur de la volatilité σ1 = (σinf + σsup) La prime d'une option est une fonction croissante de la volatilité, cette propriété est valable pour un call et pour un put. [...]
[...] Mais vérifions l'impact d'une volatilité différente sur le delta en calculant . dσ S0 1 r + 2 σ ln( K dt = .e .N 1 ) dσ T = densité de la Loi Normale d'où différence de delta due à l'écart entre la volatilité estimée au départ et volatilité implicite réelle ln( Avec volatilité estimée au départ : σ 0 = Par conséquent différence de delta = S0 ) + rT K T S0 S ln( 0 ) + rT .(d r + 2 σ 0 ln( K K dT .e .N 1 ).[σ impli.réelle ] T σ0² T En supposant comme dans le cas présent e dt N 1 ) N 0.398942 on remarque S ln( 0 ) T K ] , ce qui peut s'avérer important pour des grandes valeurs de t ou de que 0.40 dσ 2 σ ABS(S-K). [...]
[...] De plus nous souhaitons associer François-Régis Bona à la réalisation de ce projet, en particulier à travers les conseils en codage qu'il nous a gentiment prodigués. 3/37 INTRODUCTION Aussi robuste que soit le modèle de BS, ses limites sont rapidement apparues. La volatilité effectivement utilisée par les opérateurs de marché varie selon le prix d'exercice de l'option considéré. [...]
[...] La procédure intitulée SEARCH_STRIKES() située en annexe V scanne les cases les plus proches à droite et à gauche de la valeur de strike spécifiée dans le user-form et identifie quatre valeurs de strikes. La procédure intitulée SEARCH_MATURITES() les quatre maturités les plus proches de la cible située en annexe V permet également d'identifier appelées respectivement Ces deux procédures font appel à des fonctions de tri Tri_TableauString(),Tri_TableauInt(),Tri_TableauDate(),Tri_TableauInt Pour chaque maturité, la procédure intitulée «CommandButton1_Click() située en annexe VI appelle les deux procédures SEARCH_STRIKES() et SEARCH_MATURITES() , construit la matrice des strikes, procède à l'inversion, calcule la valeur de volatilité interpolée. [...]
[...] Le système à résoudre est alors le suivant : σ 1 = a.K 13 + b.K13 + c.K13 + d σ 2 = a.K 2 + b.K 2 + c.K 2 + d σ 3 = a.K 3 + b.K 3 + c.K 3 + d σ 4 = a.K 4 + b.K 4 + c.K 4 + d Ce qui peut encore s'écrire comme suit. Il est alors aisé d'en déduire les coefficients c et d par inversion de la matrice 3 σ 1 K1 3 2 K 2 = 3 3 K3 K 3 4 K K K K K1 1 K 2 1 K 3 1 K 4 3 a K1 3 b K2 3 K3 K 3 4 K K K K K1 1 K 2 1 K 3 1 K 4 σ1 2 Pour le strike recherché, la valeur de la volatilité interpolée s'écrit selon l'équation Cette interpolation est gérée par la procédure Scan_Tab() située en annexe III également Activation de l'interpolation cubique Le Bouton correspondant à l'étape 2 permet d'activer l'interpolation ,comme le montre la Figure 4 cidessous. [...]
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