La Value At Risk

Extraits

[...] Solution : trouver l'espérance et la variance de pp à partir de l'espérance, de la variance et des covariances des différents pj soit : Remarque : la relation donnant var(pp) est celle qui justifie le principe de la diversification en gestion de portefeuille : le risque du portefeuille est inférieur à ce qu'il serait si les corrélations entre les titres valaient toutes 1 La VaR du portefeuille se calcule alors à partir de E(pp) et var(pp) données par à l'aide de : L'inconvénient majeur de l'utilisation des relations et donc du calcul de VaR par est qu'il faut connaître : non seulement les paramètres univariés E(pi) et var(pi)pour chaque titre, mais aussi les paramètres bivariés cov(pi, pj) pour chaque couple de titres. [...]

[...] d'un bénéfice on peut aussi raisonner à partir des returns des actifs et des portefeuilles au lieu de leur valeur On fait une seule hypothèse : la valeur de cet actif évolue de manière stationnaire et donc Lt = V0  Vt Rq 1. On travaille ici à partir de la valeur de l'actif. [...]

[...] On a donc Lt = V0  Vt Définition 1 La VaR d'un actif pour la durée t et le niveau de probabilité q est un montant, noté VaR, tel que la perte encourue sur cet actif durant l'intervalle ne dépassera VaR qu'avec une probabilité de  soit : P(Lt > VaR) = 1  q ou de façon équivalente : ( 2.1 ) P(Lt  VaR) = q Avec FL et fL respectivement la fonction de répartition et la densité de la VA Lt, on retrouve graphiquement la définition de la VaR Définition de la VaR à partir de la fonction de répartition FL : fonction de répartition de la variable aléatoire Lt Définition de la VaR à partir de la densité fL : densité de la variable aléatoire Lt 2 paramètres entrent dans la définition de la VaR: la durée t et le niveau de probabilité q En pratique, on décide de fixer t une fois pour toute et on calcule la VaR en fonction de q on note VaRq Il est possible de calculer la VaR pour plusieurs valeurs de q différentes : Banker Trust  99% Bank America et JP Morgan  95% Le choix de la durée t est subjectif Exemple : VaR 0.98 = USD signifie qu'il y a 98 chances sur 100 que, pour la période en question, la perte maximale sur l'actif considéré ne dépasse pas dollars Exemple: VaR 0.98 = USD signifie qu'il y a 98 chances sur 100 que, pour la période en question, la perte maximale sur l 'actif considéré ne dépasse pas dollars. Certaines méthodes d'estimation de la VaR sont basées sur une distribution de la perte qui ne possède pas une densité  les VA discrètes par exemple Dans ce cas, la définition précédente est imprécise  2 cas cas d'un saut q correspond à un saut de la fonction de répartition aucune valeur de la perte ne peut convenir On prend la valeur de la perte la plus défavorable, i.e. [...]

[...] elle détermine d'abord la VaR pour chacun des facteurs de risque séparément (matrice puis elle les agrège par l'intermédiaire de la MVC estimée (matrice Synthèse – Formules Calcul de la VaR par la méthode MVC Calcul de la VaR selon RiskMetrics Calcul de la VaR par le modèle bêta (actions) L'analyse historique Méthode prônée par Chase Manhattan (Charisma et Risk$) Dans son système Risk$, Chase Manhattan considère un horizon de calcul de la VaR de 1 jour et des observations quotidiennes portant sur un historique de T=100 jours Ne formule aucune hypothèse distributionnelle sur les variations de prix Hypothèse de stationnarité la distribution des variations de prix observée à partir de l'historique va se reproduire dans l'avenir on peut donc évaluer la distribution de la variation future du prix du portefeuille et donc sa VaR Étapes de calcul identifier les différents facteurs de risque X1, X Xn déterminant la valeur des différents actifs en portefeuille (indices, cours des titres, taux d'intérêt, taux de change ) à partir des observations des différents facteurs de risque pour les époques déduire les variations relatives (i.e. [...]

[...] la plus grande q correspond à un palier de la fonction de répartition une infinité de valeurs conviennent par mesure de sécurité, on prend la valeur la plus défavorable cas d'un palier Définition tout à fait rigoureuse de la VaR dans le cas général : VaRq = max : P(Lt   Remarques La VaR n'est ni la perte à laquelle on peut s'attendre, ni la perte maximale qu'on risque de subir, mais un niveau de perte qui ne sera dépassé qu'avec un niveau de probabilité fixé a priori  relation  On peut aussi définir la VaR en prenant en compte non pas la perte elle-même, mais l'écart entre cette perte et la perte moyenne  définition 2 Définition 2 On définit VaR* tel que la perte encourue durant l'intervalle ne dépassera la perte moyenne de plus de VaR* qu'avec une probabilité de  avec E(Lt) la perte moyenne, on a : P(Lt  E(Lt) > VaR*) = 1  q ou encore : ( 4.1 ) P(Lt  VaR* + = q avec VaR et VaR* liées par la relation : VaR = VaR* + E(Lt) Définitions de la VaR en utilisant la perte moyenne à partir de la fonction de répartition à partir de la densité Cas d'une distribution normale Lorsque la variable aléatoire Lt suit une loi normale de moyenne E(Lt) et d'écart type (Lt), la définition de la VaR peut se transformer en : On peut donc écrire VaR sous une forme très simple : VaRq = E(Lt) + zq.(Lt) et VaR* de la façon suivante ( 7.1 ) : VaRq* = zq.(Lt) Modèle d'évaluation (cas linéaire) La variation de prix p = pt  p0 est une fonction des variations X Xn des différents facteurs de risque et de celle du résidu (), soit : p = a0 + a1.X1 + + an.Xn +  Remarque : la perte, notée Lt est ici égale à p On pose 2 hypothèses : Les variables X Xn et  sont non corrélées E() = 0 Remarque : la perte est ici égale à p avec les notations suivantes : En remplaçant dans on obtient directement :  illustration de ces résultats : le modèle à indice simple de Sharpe pour les actions E(p) = a0 + a1.E1 + + an.En k = n Le modèle à indice simple de Sharpe pour les actions La variation du prix d'une action (i.e. son return) est une fonction de la variation d'un indice général du marché, noté soit : p =  + I +  à partir de on trouve directement : La VaR relative au titre caractérisé par le couple ) se calcule comme suit : Résumé Pour un actif financier, la VaR est un montant tel que la perte encourue sur cet actif durant un certain intervalle de temps ne dépassera VaR qu'avec une probabilité de niveau (faible) donné. [...]