Comptabilité, description, modèle de Cox Ross et Rubinstein, options binaires, path dependent, options lookback, options barrières, formule de Black et Scholes
Dans les années 1980, suite aux variations des taux d'intérêt réels sur les marchés, les produits dérivés tels que les options se sont développés. En effet la formule d'évaluation des options sur actions découverte par Black et Scholes en 1973 a permis une meilleure compréhension de ces outils financiers, et un nouvel horizon de choix tant au niveau des stratégies d'investissement que des couvertures de portefeuilles.
L'option est alors devenue un instrument majeur et incontournable en finance comme le montrent les nombreuses pertes subies récemment par certaines banques et entreprises. Les sommes mises en jeu étant de plus en plus colossales, les entreprises et les banques ont fait apparaitre sur les marchés les options dites de "seconde génération", ou "exotiques", qui permettent de répondre à des besoins de couvertures ou encore de spéculation de plus en plus précis. Ces options sont conditionnées par différentes contraintes qui permettent de construire des stratégies en fonction du marché.
On peut classer les options exotiques en deux catégories : les "path dependent", c'est-à-dire dont le prix dépend de toutes les valeurs que
le sous-jacent peut prendre, et les "path independent" dont le prix ne dépend que de la valeur finale du sous-jacent pour les options européennes.
Le modèle développé par Cox Ross et Rubinstein en 1979 est l'analogue en temps discret de celui du modèle de Black et Scholes. Ce modèle est couramment appelé le modèle binomial car on y représente l'évolution du sous-jacent sous forme d'un arbre binaire où à
chaque période le sous-jacent ne peut prendre que deux valeurs.
Nous allons tenter d'exposer ici dans un premier temps la définition du modèle binomial, pour nous intéresser ensuite aux différents types d'options exotiques ainsi que leurs évaluations en temps discret et une approche en temps continu.
[...] Si l'on fait l'hypothèse que ces mouvements, à la hausse ou à la baisse, sont indépendants, il y a exactement trajectoires qui atteignent cette valeur. Les prendre par : T h T valeurs Suh dT , h = T que peut ST sont les T + 1 valeurs possibles d'une variable aléatoire de loi binomiale donnée P ST = Suh dT = T (ph p)T h Soit ξt Ω = tel que : St+1 = S0 ξ1 ξ ξt+1 la loi de probabilité de ξt est : P(ξt = = 1 P(ξt = = p La ltration naturelle associée représente l'information accumulée sur les prix de l'actif risqué jusqu'à t , on la note : (Ft = σ{S S S S St } Une hausse ou baisse est en fait celle du taux de rendement de l'actif qui par hypothèse est de variance historique que σ2 et de moyenne µ par unité de temps. [...]
[...] Sous forme d'arbre on a donc : Fig Arbre binomial à une période Nous allons tout d'abord dénir une condition fondamentale que le modèle doit respecter : l'absence d'opportunité d'arbitrage, c'est à dire que : Le modèle sur une période u>1+r Dénition 1. On appelle univers risque neutre, une économie où les agents sont en moyenne indiérents entre gagner de l'argent sûrement (placement en banque au taux sans risque ou le jouer avec du risque (acheter des actions risquées etc . [...]
[...] arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice ottant . Encadrement de la trajectoire de St . v Le principe de réexion du brownien Call lookback ottant pour σ exemple de barrière up-in Le problème de la barrière . encadrement de la barrière . encadrement de la barrière sur un noeud . Option up and out avant interpolation Option up and out après interpolation . [...]
[...] On dit que le marché est viable s'il n'existe pas de stratégie d'arbitrage Le modèle sur T périodes autrement dit si l'on ne peut pas gagner de l'argent à partir de rien. En eet, par exemple, si risqué : à r + 1 > S alors le taux sans risque rapporte plus qu'un actif et on place la somme acquise au taux sans risque. t=0 on vend le sous-jacent On rachète à t=T le même sous jacent. La somme sans risque ayant évolué plus vite que l'actif risqué, à terme la diérence entre ce que l'on a vendu et racheté sera positive, on aura gagné de l'argent sans en investir. [...]
[...] On regarde alors la valeurs de cette option à la date t = 3 mois pour connaitre le payo de l'option mère à cette date. On remonte ensuite jusqu'à la date d'aujourd'hui pour connaitre la valeur à la date initiale Tree Display OPTION FILLE Strike price = 50 Discount factor per step = 0,9958 Time step, dt = 0,0833 years days Growth factor per step, a = 1,0042 Probability of up move, p = 0,4892 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = OPTION MERE strike=5 Node Time: 0,0000 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = Page 1 Fig Evaluation d'un call sur call 36 Tree Display OPTION FILLE Strike price = 50 Discount factor per step = 0,9958 Time step, dt = 0,0833 years days Growth factor per step, a = 1,0042 Probability of up move, p = 0,4892 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = OPTION MERE Node Time: Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = Page 1 Fig Evaluation d'un put sur put 37 On regarde également l'évaluation d'un call sur put et d'un put sur call : Tree Display OPTION FILLE Strike price = 50 Discount factor per step = 0,9958 Time step, dt = 0,0833 years days Growth factor per step, a = 1,0042 Probability of up move, p = 0,4892 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = OPTION MERE strike=5 Node Time: Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = Page 1 Fig Evaluation d'un call sur put 38 Tree Display OPTION FILLE Strike price = 50 Discount factor per step = 0,9958 Time step, dt = 0,0833 years days Growth factor per step, a = 1,0042 Probability of up move, p = 0,4892 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = OPTION MERE strike=5 Node Time: 0,0000 Up step size, u = 1,1224 Down step size, d = Page 1 Fig Evaluation d'un put sur call Ces options sont souvent utilisées par un agent de couverture qui n'est par certain 39 d'avoir besoin de se couvrir, leur prix est donc moins élevé que celui d'une option classique. [...]
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