Optimisation de Portefeuille

Extraits

[...] Erreur sur l'approximation d'un paramètre Plaçons nous dans le cas d'un seul actif non risqué, avec et . La valeur finale du portefeuille a donc pour comportement : où Etudions l'influence d'une mauvaise détermination de : Dans le cas où un banquier, par exemple, aurait mal évalué , prenant pour mauvaise valeur ; Il estime alors de façon incorrecte est l'espérance du gain final proposé par le banquier, où celui-ci pense que la valeur finale a un comportement : , et où l'utilité du gain final est évaluée avec le mauvais paramètre . [...]

[...] nt est le nombre de pas de discrétisation. function[]=utiliteFinale(mu,sigma,T,r,alpha,w0,nt) rand('normal'); dt=T/nt; l=mu-r; phiOpt=l/(sigma^2*(1-alpha)); temps=cumsum(zeros(nt,1)+dt); dB=rand(nt,1)*sqrt(dt); B=cumsum(dB); définit le pas de discrétisation en temps dt, la stratégie optimale phiOpt, le vecteur temps, et le brownien. Actif= 0.5 *exp((mu-sigma^2/2)*temps+sigma*B); définit l'actif risqué Z=(phiOpt*l+r-phiOpt^2*sigma^2/2)*temps+phiOpt*sigma*B; Z=w0*exp(Z); est la richesse en suivant la stratégie optimale. w=sigma*dB+sigma^2*dt/2; sig=zeros(nt,1); sigEst=0; for i=1:nt w2=zeros(nt,1); w2=w+sigEst*dt/2; w2=w2.^2; w2=cumsum(w2); sigEst=sig(i); end //sigEst est le vecteur des sigmas estimés. phi=l/(1-alpha)*sig.^(-1); phi1=dt*cumsum(phi); phi2=dt*cumsum(phi.^2); phi3=cumsum(phi.*dB); phi1, phi2, phi3 sont les intégrales de phi*dt, phi^2*dt, et phi*dB Zest=l*phi1-sigma^2/2*phi2+sigma*phi3+r*temps; Zest=w0*exp(Zest); //Zest est la richesse en suivant la stratégie optimale avec le sigma approché. [...]

[...] Simulations informatiques II.2. Autres simulations II.2.a. Comparaison des méthodes Martingales et HJB II.2.b. Influence de paramètres II.3.c. Comparaison avec une gestion quelconque II.2.d. Erreur sur l'approximation d'un paramètre Conclusion Listing commenté Bibliographie Introduction Ce sujet traite de la gestion optimale dynamique d'un portefeuille boursier ; mais il permet également de mettre en valeur le comportement d'un consommateur (par l'étude de différentes fonctions d'utilités, notamment). Il constitue ainsi une bonne introduction à la théorie du contrôle optimal stochastique, en se basant sur des modélisations telles que le modèle de Merton, en développant la résolution de l'équation d'Hamilton-Jacobi- Bellman, ou encore en proposant une nouvelle procédure de résolution basée sur la théorie des Martingales. [...]

[...] Cependant, la fonction F étant nulle, le gain finale n'importe pas, et quelque soit il est nul en T. II.3.c. Comparaison avec une gestion quelconque Pour ces simulations (qui utilisent nous avons voulu comparer le rendement du portefeuille optimale par rapport à un portefeuille quelconque. Pour cela, nous avons simulé un actif (courbe noire). A partir de cet actif, nous avons calculé l'utilité en utilisant la stratégie de portefeuille optimale (courbe bleu), l'utilité en utilisant une stratégie de portefeuille quelconque (obtenue en simulant une loi uniforme sur donc sans condition de régularité et ayant une valeur moyenne de courbe bleu ciel), et l'espérance de l'utilité finale par rapport à la stratégie utilisée (droite verte). [...]

[...] Modélisation et détermination d'un estimateur Considérons l'actif sous la forme : , avec et . Posons Regardons alors l'intervalle de temps que l'on découpe régulièrement selon les temps . Montrons que presque sûrement : On a et suit une loi où les Gi sont indépendants et de loi N(0,1). les Hi sont indépendants et E(Hi)=0 : terme générique d'une série convergente. Donc, d'après le lemme de Borel-Cantelli : {pour vérifier que Xn X p.s il suffit de choisir m ( convenable tel que E[Xn2m] est le terme générique d'une série convergente.} d'où donc, un estimateur de est (et on a une convergence de vers en II.1.b. [...]